今晚來說點債券定價，以及資產配置中錯誤但合理的簡化。
󠀠
提醒，這些內容超出坊間創作者的範疇，不過還算是量化的基礎(也就是課本會寫)。
因此如果你覺得有些陌生，不妨去找固定收益的書來看，我也是如此野蠻成長的。
當然，我一向歡迎各種反駁和挑戰。
󠀠
要描述債券的價格變化，一個最偷懶的方式就是用報酬的前兩階矩，即平均年化報酬(1ˢᵗ)，加上它的波動率(2ⁿᵈ)。
例如我們在計算股票加債券各自的LETF時，可以簡單的將兩者報酬動態視為Gaussian分布下的資產，輕鬆愉快。
󠀠
這樣做的好處，除了基本描述方便外，在LETF化時也能減少計算量。
也就是說，我們只要知道資產報酬的前兩階矩，就能表達出LETF的前四階，在underlying特指債券時依然如此。
這是我推導過的，當然妳有時間也能一路推到無限階。[1]
甚至在資產配置時，有時還可以進一步簡化，只保留LETF的前兩階。
󠀠
這類剔除價格次要行為的簡化，嚴格來說並不正確，但既然妳已經接受將股票視為簡單Gaussian，即不考慮肥尾和三四階矩，那麼將其它各類資產，例如債券，視為Gaussian也不為過。
同時我們也能用著習慣的Pearson積動差相關係數或共變異數(covariance)，而不用考慮coskewness, cokurtosis，以及LETF化利用隨機微積分會遇到的covariant.
即使妳發現組合優化中的mean variance過於理想，放寬版本的risk parity, max diversity, min volatility也還能有不錯的表現。
在此框架下，投資人可以統一表達這些資產的特徵，因此計算更方便。
󠀠
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話分兩頭，債券自己的價格會受到什麼影響呢?
其中一個有名的模型因子就是「利率」。
󠀠
利率和價格的變化，定性上叫做反向關係，而定量上衍生了很多名詞，例如 modified or Macaulay duration / convexity...
不會推導的可以來問我，但即使妳完全不知道數學也無妨，只要注意到價格和利率，兩者並非簡單和恆定的關係。
󠀠
換句話說，用「利率單因子」模型來描述債券價格時，我們可以捨棄掉convexity這種觀察型的描述，轉而從債券的基本元素切入，包括時間、到期和利率等。
我想利率最有名的就是Vasicek模型，也就是短期利率的Gaussian.
󠀠
參考公式圖片
󠀠
t: 時刻
T: 到期日
P​:時間 t 購買，到期日為 T 的零息債券價格
r: 短期利率
θ':長期均衡利率
σ: 利率的波動率
κ: 利率回歸速度
󠀠
其中θ'有個點，代表是經過「風險厭惡」調整的長期均衡利率。
󠀠
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狂徒，問題來了，這些會成立嗎?
󠀠
首先，債券報酬是Gaussian.
再來，利率也是Gaussian.
同時，價格和利率，又不是簡單恆定的關係。
󠀠
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如同我一再提到的，在考慮進這些因素後，債價動態並不一定是Gaussian，而是由利率反推得到的一個函數。
除非所有回歸速度、波動率、時刻(例如ETF)等都是定值，否則債價函數不會這麼完美。
因此我建議，依照計算背景，思考要用哪一種模型。
󠀠
單算債價，或策略中有利率因子時，可以用Vasicek.
股票和債劵LETF，用隨機微積分那套，即log normal所推導的帶偏分布，至於要不要切掉高階矩再說。
靜態原形資產配置，妳可以直接都當Gaussian，也可以用Gaussian股票加上Vasicek債劵擬合，尤其搭配較寬鬆的權重計算時，例如波動率倒數。[2]
至於靜態LETF配置，直接不考慮Vasicek，因為數學會很複雜，否則若將利率考慮進去，會同時影響借貸成本和債價波動。
󠀠
當然，你也可以試圖建立一個完美數學模型，嘗試將這些矛盾一次性解決。
不過，現在還一個問題，妳可以思考看看。
󠀠
利率分布真的是Gaussian嗎? [3]
󠀠
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[1] 順帶一提，LETF各階參數依循Taylor展開，別想太多。
我之前的Hurst猜想是錯的，除非妳考慮價格動量。
另外三四階及以上，在數學上和實證上，影響都太小。
󠀠
[2] 即使不考慮時序變化，股票的恆定波動率假設依然較債券為合理。
因為嚴格來說Vasicek推導債價的AB項，包含與時間流逝有關的(T−t)，這導致跨期來看A+B幾乎不會是Gaussian，而債價也因此非log normal.
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[3] 利率分布可以當成是Gaussian，例如Ornstein Uhlenbeck/Vasicek
也可以當成不是，例如Vasicek利用短期利率自我解釋波動率的近親Cox Ingersoll Ross，以及jump diffusion等更彈性的動態描述模型。
󠀠
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