除夕就是要讀書，是吧 Jin 槓桿指投Lab
剛從世界的盡頭走回來，我快速說個結論。
󠀠
正常狀況下，分批定期定額(DCA)的Sharpe不如單筆投入。
但是如果波動相對於報酬很大，例如高槓桿的LETF，那麼分批投入的Sharpe會優於單筆投入。
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換句話說，如果一個資產的LETF波動大，且「本身」最佳槓桿率是1.5，那領固定薪水的人，要投入超過1.5倍(例如2.0倍)的LETF才是最好的。
最經典的應用就是「複合槓桿」，像是用信貸、理財型房貸，分批投入「超高」槓桿LETF，有可能贏過最佳槓桿LETF的單筆。
(注意，這邊的贏過是指報酬更高，但波動風險更小。)
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好，為什麼說世界盡頭?
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我本來在看CFA教材，覺得折現的公式很蠢(直接假設波動不存在)，所以回頭研究對有波動資產的定投，然後發現有很多關卡要闖。
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第一等級，金融學生範疇，假設資產報酬波動是常態分佈，那麼價格就是幾何布朗運動，定投的報酬就是幾何布朗運動的積分。
第二等級，理工科範疇，從隨機微積分推出幾何布朗運動的積分，以及亞式期權。
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第三等級，數學範疇，如果要描述這個報酬的機率密度分布函數和推廣，就會有幾種方式。
(作者都是博士或教授，這些方式/公式還加上他們的名字。)
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第四等級，世界盡頭，已經到人類的知識邊界，所以只有一些零星的逼近和小範圍推導。
我在這個地方繞了一陣子，也用程式輔助證明，但始終沒有找到關鍵性的結論。
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理論性的不行，我轉而找應用性的論文。
後來發現藏在我電腦已久的"A Continuous-Time Re-Examination of the Inefficiency of Dollar-Cost Averaging", 瞬間覺得很簡單。
雖然地球人對價格和定投背後的「數學」領域還未完全研究成功，但如果只是要描述DCA的特性，倒是小事情。
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我把DCA和單筆(BH)的Sharpe寫出來。
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e: 自然對數
g: 尚未投入的資金利率 (場外資產的成長率。如果是現金定投，則為現金利率，g=r。)
T: 時間或期數
μ: 股票平均報酬 (飄移率)
σ: 報酬波動標準差
r: 無風險利率
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另外，對於「正常」波動而言，DCA相較於BH的Sharpe近似耗損率為-0.134[1-2.17(μ-r)T]
󠀠
對於LETF的案例，目前我尚未找到文獻，也沒有深入研究，所以只定性描述。
不過相形之下，將原型資產換成LETF難度較小，畢竟我也曾用LogNormal的特性推導過它的報酬和風險，或許哪天我和Jin就寫出來了。
󠀠
好，打完收工。
我要繼續去看很蠢的折現報酬了。
󠀠
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