指數投資、因子投資和槓桿投資，到底有什麼關聯呢?
這篇文章適合已經有些知識儲備的讀者，我不會從頭開始介紹。
所以如果你只是剛好路過，我建議你先了解這些領域的概念。
你可以看我以前寫的入門文章，也可以去找坊間的其它創作者。
像是指數投資的館長，因子投資的流君，槓桿投資的大仁...內容都非常淺顯易懂，適合初學者大致了解。
討論槓桿和因子，我們可以先從指數投資的前身開始。
從一般投資人的角度，指數投資的精神就是被動投資，三大標準是長期持有、廣泛分散、控制成本。
它並不一定是最好的方式，但是最適合懶人。
而站在學術界的角度，指數投資和金融的投資理論發展非常有關係。
為了方便理解，我一次把相關理論的脈絡都說清楚。
1.
首先是效率市場假說。
如果市場有強效率，則股票價格會反映所有已知資訊，包括過去的價格、公開的公司財報和內幕消息...等。
所以這時候，唯一能讓價格產生變化的，只有可能是未來資訊。
既然未來資訊是隨機變化，那價格變動自然也隨機，這就是「效率市場」和「隨機漫步」的關係。
因此，撇開交易成本，不管妳如何交易，都無法有效獲得超額收益，市場上最強的和最弱的人都沒有獲利差別。
進一步的，在考慮成本損失之後，那些最被動的投資人，反而獲利最高。
那如果市場不完全有效呢?
這時候，獲得超額收益的門檻下降，主動投資者有利可圖。
當潛在的獲利空間夠大，就會讓一些厲害的主動投資人，得到比被動投資更好的收益。
如此，獲利的排序: 成功的主動投資>被動投資>失敗的主動投資。
市場越低效，收益分布越廣；交易成本越低，被動投資的優勢下降後，排序就會越後面。
做個小結，如果市場很有效，則被動投資是最佳策略。
如果市場不很有效，被動投資不是最佳策略，但是它也不會失敗。
注意，我這邊只考量策略的獲利性，至於投資者多懶，那是心理範疇。
2.
再來，往前看現代投資組合理論(MPT)，Markowitz從投資人和投資組合的角度討論。
這個理論十分重要，也被稱為華爾街的第一次革命，因為它改變了以往選股為主的投資理念，而是以分散投資的方式獲得免費的午餐。
站在投資人立場，如果一個人討厭風險(averse)，則在報酬和風險(波動標準差)的圖上，無差異效用曲線向上彎曲。
站在投資組合的角度，考量個別資產的預期報酬和波動標準差，以及各自的相關性，我們可以畫出不同權重下，投資組合的整體預期報酬和波動標準差。
這會是一個像是子彈的區塊，一部分的邊緣就叫做「效率前緣」，代表單位風險下最好的報酬可能。
現在，將投資人期望接受到的，融合投資組合實際上可以達到的表現，我們就可以畫出兩個區線的重疊覆蓋範圍。
下圖是我畫的一組案例，包括效率前緣和無差異效用曲線。
(很醜，我知道，但老子只是順手製圖。)
在這個重疊範圍內，投資人感到滿意，投資組合也可以達到。
但如果投資人的要求很刁鑽，投資組合就無能為力。
不過，這可能有補救辦法，我會在下一段說明。
當投資人刁鑽到極致，全部的投資組合中只會剩下一個點，在補救之後可以符合要求。
換句話說，這個點代表投資人可以接受的下限，同時也是調整過後，投資組合可以提供的上限。
刁鑽投資人可以接受的下限，叫做「投資人最優組合」。
而投資組合可以提供的上限，叫做「風險最優組合」，因為它承受一單位的波動風險，可以獲得最高的收益。
3.
所謂補救，就是調整風險資產比例。
對於投資人而言，不管它投資什麼，它都可以自由決定「槓桿」倍率，也就是風險資產占比。
槓桿70%，代表有70%的資產在風險市場，剩下30%在無風險市場，也就是短債或現金。
槓桿150%呢? 代表150%資產在風險市場，-50%在無風險市場，白話文就是它用無風險利率借了50%的資金。
妳當然可以把整個投資組合視為有風險和無風險兩種資產，然後用雙資產組合的方式計算。
但由於彼此的相關性是零，所以報酬和風險非常好算，都是線性關係，這條線畫出來就叫做資本配置線(CAL)。
換句話說，槓桿會同時把報酬和風險放大或縮小。
所以，沒有什麼「要不要槓桿」、「槓桿很危險」這種說法。
正確的說法是，投資人要決定使用「多大的槓桿」。
所以，從無風險利率點出發，切過效率前緣的一點，就是全市場能提供的最好表現，也叫資本市場線(CML)，而這條線一定也要剛好切過投資人要求的無差異區線。
一定要切過嗎? 對。
如果不只通過一個點，代表投資人不夠刁鑽。
如果連一個點都無法切過，代表投資人要求太高，這個市場滿足不了它。
4.
整理上述資訊。
對於一個市場，我們可以讓投資組合一步到位，而且這還有標準流程。
具體作法就是先畫出效率前緣，然後過無風險利率點，找出切線(CML).
接著，再考慮自己可以承受的風險，決定槓桿率。
更白話的說法，資產配置只有兩步驟。
第一，找出那條線。
第二，調整槓桿率。
聽起來很簡單，但實際上就是廢話，因為這只是理論上的最佳組合。
真實狀況下，投資人很難配置出這種組合，而且此理論的一些假設也過於理想。
我們先暫時回到一開始的討論，這和指數投資有何關聯?
答案是沒有關聯，因為市場上的最佳投資組合，不代表現有市場組合。
也就是說，市場當下的各種資產權重，不一定會組合出理論上的最強績效。
一直到後來，Sharpe嘗試用個股和大盤的連動性來解釋個股報酬，並對投資組合偏微分，才讓事情有轉機。
事實上，報酬波動風險比率稱為Sharpe ratio, 而報酬系統風險比則名為Beta.
5.
大家耳熟能詳的資本資產定價模型(CAPM)，就是Beta定價模型了。
Sharpe等人認為，個股的實際超額報酬，會和Beta呈正相關，這條線就叫證券市場線(SML).
在這個假設下，一旦股價只和Beta以及大盤波動有關，那麼其它的價格偏離都只是暫時的誤差。
從另一個角度來看，Beta模型隱含著市場高效率，因為長久來看，實際價格不應該脫離理論。
而且更重要的是，市場組合應該同時也要是最高Sharpe ratio組合，推導我就不放了。
隨著理論演變至此，不管是投資組合或是個股，報酬和波動似乎都有數學上的完整解釋。
但我們站在後人的角度來看，就會發現，這是一個重要但錯誤的轉折點。
從此之後，金融界的資產定價公式就有了三個部分: α(alpha), β(beta), ε(epsilon)
α代表線性回歸的截距，理論上要是零，β代表斜率，而ε就是殘差。
隨著時間推進，α也泛指無法解釋的超額報酬，β則是可以解釋的合理報酬。
現在大約是1970年，不管在學術界還是民間，指數投資人並不追求α，而且長期而言就剛好等於β投資。
6.
我再切換到「投資組合優化」的框架，這是被動投資之外的範疇。
不論是Markowitz或是Sharpe等人，所有股票或投資組合的特徵就是波動、相關性和報酬。
但實際上，投資人不可能完全確定這些數值，所以會有不同程度的放寬。
相應的組合優化手段，我整理在下表。
這代表投資人即使採用主動策略，也有可能在β的框架之下，建立市值加權投資組合。
換句話說，此時主被動投資重合。
現在的問題是，如果以Sharpe ratio為標準，指數投資還是最好的嗎?
這就要看β那套準不準了。
7.
套利定價理論(APT)是CAPM的延伸，只不過它的β不再只有一項。
以前人們認為市場β是唯一定價因素，但是後來發現這種模型並不準確。
像是Fama等人，就提出過三因子模型，在市場β之外，又加入了市值β和價值β.
或是Novy-Marx和Frazzini兩組人，也對低β的異象有不同看法。
從這個時代開始，曾經統一的定價理論和市場有效性，再次分歧。
有一派學者，例如Fama，堅信市場高度有效，但它是對特定因子有效，所以他們致力於找出這些因子。
另一派學者，例如Shiller，認為市場並不高效，所以他們從心理因素來解釋市場行為和資產定價。
這又意味著什麼呢?
指數投資，從理論發展的前緣退下了。
或者更精確的說，不論從主被動立場，市值加權都不再是實證和理論上的最佳策略。
隨著投資人對名詞精確度的要求提升，指數化投資和被動投資的語意差異也被放大。
請注意，我一開始說的被動投資有三大精神，但這些都不足以將市值加權策略和競爭者分開。
廣泛分散原則下，最大散度投資組合，會贏過市值加權指數。
長期持有原則下，偏好多因子投資組合，風險報酬比也在理論上勝過市場加權指數。
至於降低成本，這個比較無關，但也並非市值加權策略的專利。
事實上，一部分的指數投資者也意識到這些差異，因此對於資產配置的方式和「再平衡」等主動行為，並不排斥。
8.
如果妳根本看不懂我寫的，還一路看到這邊，勇氣可嘉。
我前面串了這麼多理論，就是要告訴讀者朋友，應該要建立有彈性且因果清晰的投資框架。
我喜歡科學投資，我的信心來自於這些結論，以及實際觀察到的現象。
所以，我知道什麼時候會承受怎樣的風險，我也知道哪些因素超出我的知識邊界。
回到本文題目，妳應該也已經知道，指數投資、因子投資、槓桿投資，根本屬於同一個知識體系，它們並不衝突。
有些基本教義派，喜歡抱著大指數主義，這是信仰自由。
但是它們的下場就是知識成長停滯，而且投資沒有優勢。
妳是想貫徹懶人投資法，享受完全的被動投資?
還是想讀點理論，應用到投資組合上，同時得到更高的預期報酬和更低的波動?
兩者都沒錯，你想清楚即可。
投資人無法賺到超出自身知識的錢，因為投資的本質正是「知識變現」。
9.
本文尾聲，已經和指數投資者無關了，不過我把因子的故事說完。
Fama等人後來又建立了五因子模型，並和張櫓等人有不同程度的競爭。
這看似市場有效派的勝利，但Fama也自己承認，「動量」這個牽涉到時間的因子，仍讓他既無法解釋卻也無法拋棄。
當然，其它學者也陸續發表自己的因子體系，這造成學界因子數量開始上升。
隨著時間經過，這些基本面風格因子和線性回歸，也不再是標準答案。
價量、輿情、統計、經濟、分析師...等因子都被納入，而在持續的挖掘之下，非線性回歸也開始變得普及，這也讓因子的發展從理論推導轉為軍備競賽。
目前業界普遍使用機器學習來挖掘並測試因子，而以我接觸過的AutoML開源框架而言，一輪挖掘就能合成出近百萬個財報因子，如果你覺得不夠深入，也可以執行第二輪以建立複合因子。
同時，機器學習也逐漸打破配置、選股、擇時的界線，所以像是因子動量、時序分析、集成學習...等方法，發展速度飛快。
發展至此，學界不再有革命性的理論出現，而業界也沒有跳躍式的升級，所以大家持續研究、試錯，唯一的改變大概就是競爭越趨激烈、知識迭代的速度也提升。
或者換個方式說，以前的FF5/q5模型，不再是新產品，而早已變成檢視各種α的基準。
這時候對於新進人員的研究障礙，可想而知。
狂徒，那我該怎麼辦?
如果妳對槓桿、因子和指數都不了解，還偷看我的文章，那我建議妳「唯一被動投資」。
妳應該把一切的工具和思路都暫時當成α，先不要想期貨保證金/LETF、因子排序/回歸...等。
你可以先看書補足知識，例如《穩定致富》或《投資金律》，我剛好都和這些作者有點認識，知道他們對知識的態度。
等到哪天你有八成理解，再來考慮是否拓展投資工具和理論。
如果你已有涉獵，但還想要多花一些精神，把別人眼中的α變成自己有把握的β，那就可以開始研究資產配置/定價，並將因子和槓桿融合進投資體系。
像我撰文推薦過的Investment或是CFA教材，也是好書，把這些看完，已經可以輕鬆幹倒坊間九成投資創作者了。
當然，你隨時可以當個懶人，徹底被動投資，這也並不可恥。
而且你不必靠信仰，只靠科學，也能很有信心。
如果，妳就是想要真正理解投資的前緣理論和應用，那妳需要紮實的基本功，不然我勸妳先撤退。
就像程式、回測不行的，不要說你懂量化。
就像提取、回歸都不會，不要說妳懂因子。
就像變分、隨機都不知道，不要說你懂槓桿ETF。
有了教科書的知識後，你可以去看期刊論文和業界的報告，並透過第三方或自己的平台研究。
有人只是看到論文，有人閱讀論文，有人想辦法復現和質疑論文(然後還賭了一瓶啤酒)。
你是投資人，很清楚你要的是哪一種。
偏量化多因子的Quantopian(已關閉), Quantpedia或Oxford-Man，偏風格因子的AQR或Alpha Architect，以及學界的Stefan Nagel和修大成、因子投資的石川等人，都是我推薦的優質靈感來源。
我再說一次，看到這些文章，以及實際測試這些理論和研究，完全是兩個不同世界。
陶醉於紙上談兵很爽，但等你捲起袖子開幹的時候，很多現實的問題就會自動出現，我現在多說無益。
總而言之，從效率前緣到三因子模型，被動投資法跟著投資理論一起走了將近半世紀，後來開始分道揚鑣。
若你喜歡的是「放著不管」、讓資產「自己成長」、將時間「花在喜歡的人事物上」，那你應該繼續這樣做，根本不用管理論發展。
如果你嚮往「科學投資」，希望「最小努力最大回報」、「站在巨人的肩膀上」，那妳最好保持著研究動力，在知識的代差輾壓性和邊際效益遞減中取捨，總會有個甜蜜區間。
要不要被動投資，要不要放入因子，要不要調整槓桿，那都是妳的選擇了。
註: 我有槓桿/因子的Line社群，算是提供了本篇文章的靈感。